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❓ この回で答えたい問い / 这节要解决的问题
同じ荷物を同じ高さまで上げるのに、なぜ「急いで持ち上げる」としんどいのか？
同样的重物举到同样高度,为什么“快速”举起更累?——功一样,差别在功率。
📌 試験情報 / 補足 考试信息 / 补充先生が言った試験まわりの話：老师说的考试相关:①今天那些麻烦的计算(积分/线积分、动能定理的推导)都是“参考”、不考;要记的只有两件——仕事的定义式(内积+符号)和“合力的功=动能变化”(功-动能定理);②有小测;下周出第2次报告(截止第14回晚上,早点做);第1次报告的范例已上传作“写法样板”(供参考、别照抄)。
物理学1 / 第 10 回

仕事と運動エネルギー

功与动能
物理学1 🔑 難易度 ★★☆ 📌 仕事 W=Fscosθ・仕事率・運動エネルギー
🎯

本講のポイント本课重点

仕事 W＝Fs cosθ＝変位方向の力の成分 × 移動距離。単位はジュール(J)。功W=Fscosθ=沿位移方向的力分量×位移;单位焦耳J。
cosθ で符号：同じ向き→正、垂直→0、反対→負。軸の向きは無関係。cosθ定正负:同向→正、垂直→0、反向→负;与坐标轴无关。
仕事は内積 W＝F·S（成分 Fx·Δx+… でも計算可）。結果はスカラー。功是内积W=F·S(也可用分量算);结果是标量。
「支える・壁を押す」は S=0 で仕事ゼロ。力を出す≠仕事をする。撑东西/推墙S=0、功为0;出力≠做功。
仕事率 P＝仕事÷時間（ワット）。急ぐ＝Δt小→P大→しんどい。瞬間 P＝F·V。功率P=功÷时间(瓦);快=Δt小→P大→累;瞬时P=F·V。
仕事-運動エネルギー定理 W_net＝ΔK、K＝½mv²。合力の仕事から速さが出る。功-动能定理W_net=ΔK,K=½mv²;由合力的功求出速度。
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講義の流れ这节课老师一步步讲了什么
🟢 緑＝重要 / 绿色=重点🔵 青＝流れ / 蓝色=过程💬 灰＝余談 / 灰色=老师的闲话枝节
① 開始：見方を切り替える
先生はまず「今までは運動方程式で『力→加速度→速度』と読んできたが、今日は仕事とエネルギーで読む」と、新しい視点を宣言した。老师先说:以前都用运动方程式(力→加速度→速度)来读,今天换一种视角——用“功与能量”来读。
② 今日の問い：なぜ急ぐとしんどい？
「同じ荷物を同じ高さまで、ゆっくり上げると余裕、急いで上げるとしんどい。持ち上げる仕事は同じなのに、何が違うのか？これを力学の言葉で説明する」と、つかみの問いを出した。今日的引子:同样重物举到同样高度,慢慢举很轻松、快速举很累;举起的“功”一样,差别到底在哪?用力学的话说清楚。
③ 今日の目標は3つ
「①仕事が力と変位の向きの関係で決まると説明できる ②仕事の正・負・ゼロを図から判断できる ③仕事と運動エネルギーの関係で速さを出せる」と到達目標を提示した。给出三个目标:①能说明功由力与位移的方向关系决定;②能从图判断功的正/负/零;③能用功与动能的关系求出速度。
④ 仕事の定義：W＝Fs cosθ
「仕事＝変位方向の力の成分 × 変位の大きさ。力 F を変位 S 方向に分解した F cosθ に移動距離 s をかける＝W＝Fs cosθ（F一定・直線移動）。単位は N·m＝ジュール(J)」と核心の式を導入した。功的定义:沿位移方向的力的分量×位移大小=Fcosθ×s=W=Fscosθ(F恒定、直线移动);单位N·m=焦耳(J)。
⑤ cosθ が符号を決める
「cosθ があるので、θが0〜π/2ならプラスの仕事、π/2〜πならマイナスの仕事。仕事は力の大きさだけでなく向きも込みで一つの式で決まる」と強調した。cosθ决定正负:θ在0~π/2为正功、π/2~π为负功;功不只看力的大小,方向也一起由这一个式子决定。
⑥ 符号の4つの例
図で4例：①θ=0（同じ向き）→W=Fs、②θ=π/2（垂直＝垂直抗力）→W=0、③θ=π（反対＝動摩擦力）→W=−Fs、④S=0（支える・壁を押す）→W=0。「物を支えても壁を押しても、動いていないので物理的には仕事していない」と面白がって説明した。用4个例子:①θ=0同向→W=Fs;②θ=π/2垂直(如支持力)→W=0;③θ=π反向(如动摩擦)→W=−Fs;④S=0(支撑/推墙)→W=0;老师强调“撑着东西、推着墙不动,物理上没做功”。
⑦ 注意：符号は軸と無関係
「仕事の符号はX軸の向きとは無関係。あくまで変位と力のベクトルの向きの関係だけで決まる」と釘を刺した。提醒:功的正负与坐标轴方向无关,只由位移与力的方向关系决定。
⑧ 仕事を内積で書く
「Fs cosθ はそのまま内積＝W＝F·S。成分なら Fx·Δx＋Fy·Δy＋Fz·Δz で計算できる。内積（スカラー積）なので結果はスカラー（向きを持たない量）。仕事の符号は向きではなく量の正負」とまとめた。把功写成内积:W=F·S;用分量就是Fx·Δx+Fy·Δy+Fz·Δz;内积(标量积)结果是标量(无方向),功的正负是量的正负、不是方向。
⑨ 参考：変化する力は微小仕事の積分
「力が変化し経路が曲線のときは、微小仕事 dW＝F·dS を経路Cに沿って積分 ∫_C F·dS（線積分）。ただしこの辺は参考で試験には出ない」と断りつつ、L字経路の計算例を見せた。参考:力变化、路径弯曲时,把微小功dW=F·dS沿路径C积分(线积分);但老师明说“这部分是参考、不考”,并演示了L形路径的算例。
⑩ 仕事率(パワー)で最初の問いを解く
「仕事率 P＝仕事÷時間、単位ワット(W)。電子レンジ600Wは1秒に600J。ゆっくり上げる＝Δt大→仕事率小＝楽、急いで＝Δt小→仕事率大＝しんどい。仕事は同じでも仕事率が違う」と、冒頭の問いに答えた。用功率解开引子:功率P=功÷时间,单位瓦(W);微波炉600W=每秒600J;慢慢举Δt大→功率小=轻松,快速举Δt小→功率大=累;功一样、功率不同。
⑪ 余談：レポートも締め切り間際に詰め込むな
「短時間に仕事を詰め込むほど仕事率が大きくてしんどい。だからレポートも締め切り間際にΔtを圧縮して負荷をかけないように、計画的に」と笑いを取った。插话:短时间塞太多功、功率就大、就累;所以“写报告也别拖到截止前才压缩时间硬扛”,要有计划(老师玩笑)。
⑫ 瞬間仕事率 P＝F·V
「平均を極限にすると瞬間仕事率 P＝F·V（力と速度の内積）。FとVが揃えば P>0＝運動を強める、反対なら P<0＝運動を弱める。その瞬間に力が速度方向にどう効くかを表す」と説明した。瞬时功率P=F·V(力与速度的内积):F与V同向P>0=加强运动,反向P<0=削弱运动;表示那一瞬力对速度方向的作用。
⑬ 仕事は『どの力の仕事か』を指定する
「荷物を上げるとき人の力の仕事＝mgh、重力の仕事＝−mgh、合力の仕事＝0（ゆっくり＝加速度0）。各力の仕事を足すと合力の仕事になる」と、同じ現象でも力ごとに仕事が違うことを示した。功要指定“是哪个力的功”:举重物时人的力做功=mgh、重力做功=−mgh、合力做功=0(慢举、加速度0);各力的功之和=合力的功。
⑭ 核心の結果：仕事-運動エネルギー定理
（導出は試験外と断った上で）「合力の仕事 W_net＝(1/2)mv_B² − (1/2)mv_A²＝運動エネルギーの変化 ΔK。運動エネルギー K＝(1/2)mv²。正の仕事で K 増、負で減。これで合力の仕事から速さの変化が読める」と、覚えるべき結論を出した。核心结论(推导不考):合力的功W_net=(1/2)mv_B²−(1/2)mv_A²=动能变化ΔK;动能K=(1/2)mv²;正功使动能增、负功使减;由此能从合力的功读出速度变化。
⑮ 応用：垂直なら速さ不変＝等速円運動
「合力が変位と垂直なら仕事0→運動エネルギー不変→速さも変わらない。等速円運動はまさにこれ（向心力が変位と常に垂直で仕事をしない）。前回の『向心力は仕事しないから速さ一定』をエネルギー視点で確認した」とつないだ。应用:合力与位移垂直则功为0→动能不变→速度不变;匀速圆周运动正是如此(向心力始终与位移垂直、不做功);从能量视角印证了上回“向心力不做功故速度恒定”。
⑯ 二つの見方を比較＋楽な計算例
「運動方程式＝時間で追って途中も全部わかるが計算が長い。仕事-エネルギー＝始点と終点だけ見ればよく楽。例：摩擦なし床で初速0、右にF一定でS引く→Fs＝(1/2)mv² → v＝√(2Fs/m)。運動方程式の長い計算が一気に済む」と威力を見せて締めた。次回は保存力・位置エネルギーへ。比较两种视角:运动方程式按时间追、连过程都知道但算得长;功-能量只看起点终点、很省事;例:无摩擦地面初速0、向右用恒力F拉S→Fs=(1/2)mv²→v=√(2Fs/m),一步到位;预告下次讲保存力与势能。
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知識マップ知识图谱（先看这张抓全局）
仕事とエネルギー功与能量
仕事の定義功的定义
W＝Fs cosθ（F一定・直線）W=Fscosθ
内積で W＝F·S内积:W=F·S
単位 N·m＝ジュール(J)单位焦耳J
仕事の符号(4例)功的符号(4例)
同じ向き θ=0 → +Fs同向→+Fs
垂直 θ=π/2 → 0（垂直抗力）垂直→0
反対 θ=π → −Fs（動摩擦）反向→−Fs
動かない S=0 → 0（支える）不动→0
仕事率(パワー)功率
P＝仕事÷時間、単位 WP=功÷时间,瓦
急ぐ＝Δt小→P大→しんどい快=Δt小→P大→累
瞬間 P＝F·V瞬时P=F·V
仕事-運動エネルギー功-动能
運動エネルギー K＝(1/2)mv²动能K=½mv²
W_net＝ΔK＝K_B−K_A合力功=动能变化
垂直なら速さ不変(等速円運動)垂直则速度不变
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仕事の符号を図から見分ける手順逻辑链：怎么从图判断功的正负

① 変位 S の向きを見る
物体が実際にどっちへ動いたか。先看位移S的方向(物体实际往哪动)。
② 力 F の向きと比べる
S と F のなす角 θ を見る（軸は無関係）。再看力F与S的夹角θ(与坐标轴无关)。
③ 同じ向き寄り → 正の仕事
θ<π/2、cosθ>0。例：引く力。偏同向→正功(θ<π/2,cosθ>0),如拉力。
④ 垂直 → 仕事ゼロ
θ=π/2。例：垂直抗力・向心力。垂直→功为0(θ=π/2),如支持力/向心力。
⑤ 反対向き寄り → 負の仕事
θ>π/2。例：動摩擦力。動かない(S=0)も0。偏反向→负功(θ>π/2),如动摩擦;不动(S=0)也为0。
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解説详细讲解

仕事の定義 功的定义

W = F s cosθ = F · S　（F一定・直線移動）

変位方向の力の成分 F cosθ に移動距離 s をかける。内積なので成分計算でも出せる：W = Fx·Δx + Fy·Δy + Fz·Δz。単位は N·m ＝ ジュール(J)。結果はスカラー（符号はあるが向きは持たない）。沿位移方向的力分量Fcosθ乘位移s;是内积、也可用分量算;单位焦耳;结果是标量(有正负、无方向)。

仕事の符号：4つの代表例 功的符号:4个典型例

状況 / 情形θ仕事 W / 功例 / 例
力と移動が同じ向き力与移动同向0+Fs引く力拉力
力が移動と垂直力与移动垂直π/20垂直抗力・向心力支持力/向心力
力が移動と反対力与移动反向π−Fs動摩擦力动摩擦力
動かない不动—0支える・壁を押す支撑/推墙

「支える」は仕事ではない：力を出していても物体が動かなければ（S=0）仕事はゼロ。力を出すことと仕事をすることは別。“撑着”不算做功:出了力但物体不动(S=0)就没做功;出力≠做功。

仕事率(パワー) 功率

平均 P̄ = W / Δt　／　瞬間 P = F · V　（単位 ワット W = J/s）

急いで持ち上げる＝Δt が小さい→仕事率が大きい→しんどい。仕事 mgh は同じでも仕事率が違う、というのが冒頭の問いの答え。瞬間仕事率 P=F·V は、力が速度方向に運動を強める(P>0)か弱める(P<0)かを表す。快速举=Δt小→功率大→累;功mgh一样但功率不同,这就是引子的答案;瞬时功率P=F·V表示力是加强(P>0)还是削弱(P<0)运动。

仕事-運動エネルギー定理（覚える結論） 功-动能定理(要记的结论)

W_net = ½mv_B² − ½mv_A² = ΔK　,　運動エネルギー K = ½mv²

合力のした仕事は、始点と終点の運動エネルギーの差に等しい。正の仕事で速くなり、負の仕事で遅くなる。これで合力の仕事から速さの変化が読める（途中を追わなくてよい）。合力做的功等于起点终点动能之差;正功变快、负功变慢;由此能从合力的功读出速度变化(不必追过程)。

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もう一度、やさしく一歩ずつ还没懂？再用大白话一步步过一遍

① 「仕事」は日常語と違う
物理の仕事は「力 × その向きに動いた距離」。動いてなければ（支えてるだけ）仕事はゼロ。まずここで日常感覚を切り離す。物理的“功”不是日常说的“干活”:是“力×沿该方向移动的距离”;不动就没做功(光撑着=0);先把日常直觉放一边。
② 向きが揃うほど仕事は大きい
力と移動が同じ向きなら満点(+Fs)、垂直なら0、反対ならマイナス。cosθ がこの「向きの揃い具合」を測っている。力和移动越同向、功越大(+Fs),垂直=0,反向=负;cosθ就是在量“同向程度”。
③ 仕事率＝仕事を『どれだけ速く』やったか
同じ仕事でも、短時間でやると仕事率(パワー)が大きい＝しんどい。だから急いで荷物を上げると疲れる。功率=把功“做得多快”;同样的功、用更短时间做、功率就大=累;所以快速举重物会累。
④ 運動エネルギー＝速さの貯金
動いている物体は ½mv² の「エネルギーの貯金」を持つ。合力が正の仕事をすると貯金が増える＝速くなる、負なら減る＝遅くなる。动能=速度的“存款”:运动物体有½mv²的能量存款;合力做正功→存款增→变快,做负功→存款减→变慢。
⑤ だから速さは仕事から一発で出る
途中の時間を追わなくても、合力の仕事＝½mv²の変化。例：止まった物を力 F で S 引けば Fs＝½mv² → v＝√(2Fs/m)。これが今日の一番おいしいところ。所以速度可由功一步算出:不用追时间,合力的功=½mv²的变化;例:静止物体被F拉S→Fs=½mv²→v=√(2Fs/m);这是今天最好用的地方。
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例題を一緒に解く手把手例题（跟着算一遍）

問 / 题：摩擦のない床で静止（初速0）している質量 m の物体を、右向きに大きさ一定の力 F で距離 s だけ引いた。引いた後の速さ v は？（仕事-運動エネルギーで解く）无摩擦地面上静止(初速0)、质量m的物体,被向右的恒力F拉过距离s;拉完后的速度v=?(用功-动能定理解)
1
各力の仕事を考える：重力と垂直抗力は移動（水平）と垂直なので仕事0。力 F だけが移動と同じ向きで仕事をする。先看各力的功:重力和支持力都与水平移动垂直、做功为0;只有力F与移动同向、做功。
2
だから合力の仕事は \( W_{net} = F s \)（同じ向きなので cos0=1）。所以合力的功W_net=Fs(同向,cos0=1)。
3
仕事-運動エネルギー定理 \( W_{net} = \tfrac{1}{2}mv_B^2 - \tfrac{1}{2}mv_A^2 \) を使う。初速0なので \( v_A=0 \)。用功-动能定理W_net=½mv_B²−½mv_A²;初速0故v_A=0。
4
代入： \( F s = \tfrac{1}{2}mv^2 - 0 \)。代入:Fs=½mv²−0。
5
v について解く： \( v = \sqrt{\dfrac{2Fs}{m}} \)。運動方程式を積分する長い計算をせずに、一発で速さが出る。解出v=√(2Fs/m);不用做“运动方程式积分”那一长串,一步得到速度。
⚠️

つまずきポイント容易错的地方

❌ 力を出していれば仕事をしている
✅ 動かなければ仕事は0（支える・壁を押すは S=0 で W=0）
出力≠做功:不动(S=0)就没做功,如撑东西、推墙。
❌ 仕事の符号は座標軸で決まる
✅ 符号は変位と力の向きの関係（θ）だけで決まる。軸の向きは無関係
功的正负不由坐标轴决定,只由位移与力的夹角θ决定。
❌ 運動エネルギーは mv や mv²
✅ K＝½mv²（½ と 2乗を両方忘れない）
动能是½mv²(½和平方都别漏),不是mv或mv²。
❌ 速さを出すのに毎回 運動方程式を積分
✅ 始点と終点だけ要るなら仕事-運動エネルギー定理が圧倒的に楽
只要起点终点的话,用功-动能定理远比积分运动方程式省事。
✅

基礎問題基础理解题（这些懂了就过关）

基礎仕事の定義式を書け（大きさと角度で）。写出功的定义式(用大小和角度)。
W = F s cosθ（変位方向の力の成分 × 移動距離）。単位はジュール(J)。W=Fscosθ(沿位移方向的力分量×位移);单位焦耳J。
基礎床を滑る物体への垂直抗力がする仕事は？对滑行物体,支持力做的功是多少?
0。力（上向き）と移動（水平）が垂直（θ=π/2、cos=0）だから。0;力(向上)与移动(水平)垂直(θ=π/2,cos=0)。
基礎運動エネルギーの式は？动能的公式是?
K = ½mv²。K=½mv²。
基礎仕事-運動エネルギー定理を書け。写出功-动能定理。
合力の仕事 W_net = ½mv_B² − ½mv_A² = ΔK。合力的功W_net=½mv_B²−½mv_A²=ΔK。
基礎「急いで持ち上げるとしんどい」を力学の言葉でいうと？“快速举起更累”用力学的话怎么说?
仕事は同じだが、Δt が小さいので仕事率(パワー)が大きいから。功一样,但Δt小、功率大,所以累。
🚀

発展問題进阶题

発展等速円運動で速さが一定なのを、仕事の視点で説明せよ。用功的视角解释匀速圆周运动为何速度恒定。
向心力は変位と常に垂直なので仕事0→運動エネルギー不変→速さも変わらない。向心力始终与位移垂直、做功为0→动能不变→速度不变。
発展人が荷物をゆっくり h 上げるとき、人の力・重力・合力の仕事は？人慢慢把重物举高h,人的力/重力/合力各做多少功?
人の力＝+mgh、重力＝−mgh、合力＝0（ゆっくり＝加速度0）。各力の和が合力の仕事に一致。人的力=+mgh、重力=−mgh、合力=0(慢举、加速度0);各力之和=合力的功。
発展仕事-運動エネルギー定理を使う利点は（運動方程式と比べて）？相比运动方程式,功-动能定理的好处?
時間を追わず始点と終点だけ見ればよく、計算が楽。例：v=√(2Fs/m) が一発で出る。不用追时间、只看起点终点、计算省事;如v=√(2Fs/m)一步得到。
発展内積で書いた仕事 W=F·S が「スカラー」とはどういう意味か？把功写成内积W=F·S“是标量”是什么意思?
結果が向きを持たない量だということ。符号(正/負)はあるが、それは向きでなく量の正負を表す。结果是无方向的量;有正负,但正负表示量的增减、不是方向。
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